NOMBRES ENTIERS |
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Diviseurs communs |
Définition
On appelle diviseurs
communs à a et b, les nombres entiers qui divisent
à la fois a et b.
Exemple
Diviseurs
communs à 36 et 48
Diviseurs de 36 : 1, 2,
3, 4, 6,
9, 12, 18, 36
Diviseurs de 48 : 1, 2,
3, 4, 6,
8, 12, 16, 24, 48
Diviseurs communs à 36 et 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Définition
Le PGCD
de deux nombres entiers a et b, est le Plus
Grand Diviseur
Commun de a et b.
Exemple
Diviseurs
communs à 12 et 18
Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6,
12
Diviseurs de 48 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
Le plus grand des diviseur commun à 12 et 18 est 6
Détermination du PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) |
Algorithme
de différence
On effectue la soustraction du plus grand par le plus petit, puis on remplace
le plus grand par la différence, et on recommence jusqu'à ce que
la différence soit nulle. Le PGCD est, alors, le dernier résultat
non nul.
Exemple
Déterminer
le PGCD des nombres 12 et 28
28 – 12 = 16
16 – 12 = 4
12 – 4 = 8
8 – 4 = 4
4 – 4 = 0
Le dernier résultat, non, nul est 4, donc PGCD(12 ; 28) = 4
Algorithme
d'Euclide
On effectue la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit et
on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu'à ce que le reste soit
nul. Le PGCD, est, alors, le dernier diviseur.
Exemple
Déterminer
le PGCD de 360 et 128
Le dernier diviseur, non nul, est 8, donc PGCD (360 ; 128) =
8
Nombres Premiers entre eux |
Définition
Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux (ou étrangers)
si leur PGCD est égal à 1.
Exemples
Les
nombres 25 et 48 sont-ils premiers entre eux?
PGCD (48 ; 25) = 1, donc les nombres 25 et 48 sont premiers entre
eux.
Les nombres
34 et 51 sont-ils premiers entre eux?
PGCD (34 ; 51) = 17, donc les nombres 25 et 48 ne sont pas premiers
entre eux.
Propriété
Une fraction est irréductible, si le PGCD du numérateur et du
dénominateur est égal à 1. Si ce n'est pas le cas, la fraction
est simplifiable par le PGCD.
Exemples
La
fraction
est-elle irréductible ?
PGCD (48 ; 25) = 1, donc la fraction est irréductible.
La fraction
est-elle irréductible ?
PGCD (48 ; 25) = 17, donc la fraction n'est pas irréductible.
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