NOMBRES ENTIERS

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Diviseurs communs

 

Définition
On appelle diviseurs communs à a et b, les nombres entiers qui divisent à la fois a et b.

Exemple
Diviseurs communs à 36 et 48
Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Diviseurs de 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Diviseurs communs à 36 et 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

Définition
Le PGCD de deux nombres entiers a et b, est le Plus Grand Diviseur Commun de a et b.

Exemple
Diviseurs communs à 12 et 18
Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Diviseurs de 48 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
Le plus grand des diviseur commun à 12 et 18 est 6

  

Détermination du PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)


Algorithme de différence  
On effectue la soustraction du plus grand par le plus petit, puis on remplace le plus grand par la différence, et on recommence jusqu'à ce que la différence soit nulle. Le PGCD est, alors, le dernier résultat non nul.

Exemple
Déterminer le PGCD des nombres 12 et 28
28 – 12 = 16
16 – 12 = 4
12 – 4 = 8
8 – 4 = 4
4 – 4 = 0
Le dernier résultat, non, nul est 4, donc PGCD(12 ; 28) = 4


Algorithme d'Euclide  
On effectue la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit et on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu'à ce que le reste soit nul. Le PGCD, est, alors, le dernier diviseur.

Exemple
Déterminer le PGCD de 360 et 128

Le dernier diviseur, non nul, est 8, donc PGCD (360 ; 128) = 8

 

Nombres Premiers entre eux

 

Définition
Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux (ou étrangers) si leur PGCD est égal à 1.

Exemples
Les nombres 25 et 48 sont-ils premiers entre eux?
PGCD (48 ; 25) = 1, donc les nombres 25 et 48 sont premiers entre eux.

Les nombres 34 et 51 sont-ils premiers entre eux?
PGCD (34 ; 51) = 17, donc les nombres 25 et 48 ne sont pas premiers entre eux.

Propriété  
Une fraction est irréductible, si le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1. Si ce n'est pas le cas, la fraction est simplifiable par le PGCD.

Exemples
La fraction est-elle irréductible ?

PGCD (48 ; 25) = 1, donc la fraction est irréductible.

La fraction est-elle irréductible ?

PGCD (48 ; 25) = 17, donc la fraction n'est pas irréductible. 
De plus :

 

 

 

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