Problème
Dans tout le problème, l'unité utilisée est le centimètre.
On consièdre un triangle ABC, tel que : AB = 12, AC = 9 et BC =15.

Partie A

E est le point du segment [AB] tel que AE = 9 ; la parallèle à la droite (BC) passant par le point E coupe le côté [AC] en F.

1. Faire une figure.
2. Calculer AF, puis EF
3. Montrer que AFE est un triangle rectangle en A.
4. a. Quelle est la nature du triangle ACE? Préciser la position du centre du cercle circonscrit à ce triangle.
    b. Montrer que la médiatrice du segment [CE] passe par A.
5. Soit I le milieu du segment [BC]. On appelle D le symétrique de A par rapport à I.
Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? Justifier la réponse.

Partie B

M est un point du segment [AB] ; on désigne par x la longueur AM.
La parallèle à la droite (BC) passant par le point M coupe le côté [AC] en N.
Sur la figure ci-dessous, les dimensions ne sont pas respectées.

Corrigé

Commentaires

Partie A

1. Faire une figure

2. Calculer AF, puis EF

Les points A,F,C et A, E, B sont alignés dans le même ordre, donc les triangles AEF et ABC forment une configuration de Thalès.
Comme les droites (BC) et (EF) sont parallèles, alors d'après le théorème de Thalès, on a :

 

Dans cette même configuration de Thalès on a aussi

 
 

3. Montrer que AFE est un triangle rectangle en A.

D'une part
BC² = 15² = 225
d'autre part
AB² + AC² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225
Comme BC²  = AB² + AC², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A, donc le triangle AFE aussi.

4. a. Quelle est la nature du triangle ACE?

AC = AE, donc le triangle ACE est isocèle en A. Comme, de plus, l'angle A est droit, alors le triangle ACE est rectangle isocèle en A.

Préciser la position du centre du cercle circonscrit à ce triangle.

Comme le triangle ACE est rectangle en A, alors le centre de son cercle circoncrit est situé au milieu de son hypoténuse [CE].

4. b. Montrer que la médiatrice du segment [CE] passe par A.

Comme AC = AE, alors le point E appartient à la médiatrice du segment [CE].
 

5. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? Justifier la réponse.

Les points D et A sont symétriques par rapport à I, donc I est le milieu du segment [AD].

Comme les diagonales [AD] et [BC], du quadrilatère ABDC, se coupent en leur milieu I, alors c'est un parallélogramme.
De plus l'angle A est droit, donc ABCD est un rectangle.
 

Partie B  

1. Montrer que

Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, donc les triangles AMN et ABC forment une configuration de Thalès.
Comme les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors d'après le théorème de Thalès, on a :
 
 
 

2. Montrer que

En utilisant la même configuration qu'à la question précédente, on a

3. Exprimer MB en fonction de x

Le point M appartient au segment [AB], donc
MB = AB – AM

4. Exprimer NC en fonction de x.
Le point N appartient au segment [AC], donc
NC = AC – AN
 
 

5   a. Calculer P₁ en fonction de x  

5. b. Montrer que

6. pour quelle valeur de x a-t-on P₁ = P₂ ?

Si P₁ = P₂, alors