PROBLÈME (4/)

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 Amiens

Juin 2000 

Fonctions linéaires et affines
Équation du premier degré à une inconnue.
Inéquation du premier degré à une inconnue.

  

Problème
Un club de gymnastique propose, pour l'utilisation de ses installations, les trois tarifs suivants :
Tarif A : 80 F par séance.
Tarif B : abonnement annuel de 1 000 F, puis 40 F par séance.
Tarif C : forfait annuel de 3 000 F donnant droit à autant de séances que l'on désire.
 

Partie A

1. Recopier et compléter le tableau suivant.

Nombre de séances annuelles

10

40

60

Coût avec le tarif A

 

 

 

Coût avec le tarif B

 

 

 

Coût avec le tarif C

 

 

 

2. Exprimer, en fonction du nombre x de séances annuelles :
    a. Le coût PA pour un utilisateur ayant choisi le tarif A.
    b. Le coût PB pour un utilisateur ayant choisi le tarif B.
3. Une personne désire dépenser 2 400 F dans l'année pour l'utilisation des installations de ce club. A combien de séances aura-t-elle droit si elle choisit le tarif B ?

4. Soit l'inéquation 80x < 1 000 + 40x.
    a. La résoudre.
    b. Donner une interprétation du résultat trouvé.

Partie B

le plan est muni d'un repère orthogonal.
On consacrera une page entière au graphique et on placera l'origine O du repère en bas à gauche de la feuille.
Sur l'axe des abscisse, 1 cm représentera 5 unités.
Sur l'axe des ordonnées, 1 cm représentera 200 unités.

1. Tracer les droites :
     D1 d'équation y = 80x
     D2 d'équation y = 40x + 1 000
     
D3 d'équation y = 3 000

 2. Une personne dispose de 1 600 F pour l'utilisation des installations de ce club.
     Déterminer graphiquement le nombre de séances auquel elle pourra participer :
     a. si elle choisit le tarif A.
     b. si elle choisit le tarif B.
(On fera clairement apparaître sur le graphique les traits utilisés.)

3. Soient M le point d'intersection des droites D1 et D2, et N celui des droites D2 et D3.
     a. Lire sur le graphique les coordonnées de M
     b. Calculer les coordonnées de N.

4. Déterminer graphiquement, selon le nombre de séances annuelles, le tarif de plus avantageux.
 

 

Corrigé

Commentaires

Partie A

1. Recopier et compléter le tableau suivant.

Nombre de séances annuelles

10

40

60

Coût avec le tarif A

800

3 200

4 800

Coût avec le tarif B

1 400

2 600

3 400

Coût avec le tarif C

3 000

3 000

3 000

 



 

 


2. Exprimer, en fonction du nombre x de séances annuelles :
    a. Le coût P
A pour un utilisateur ayant choisi le tarif A.

PA = 80x 


    b. Le coût PB pour un utilisateur ayant choisi le tarif B.

PB = 40x + 1 000

 

 

 

3. Une personne désire dépenser 2 400 F dans l'année pour l'utilisation des installations de ce club. A combien de séances aura-t-elle droit si elle choisit le tarif B ?

PB = 40x + 1000
Il faut donc résoudre l'équation : 40x + 1 000 = 2 400

   40x + 1 000 = 2 400
   40x + 1 000 1 000 = 2 400  1 000
   40x = 1 400 
   40x / 40 = 1 400 / 40

x = 35

 Pour 2 400 F avec le tarif B, elle aura droit à 35 séances.
 

 [ Équation du 1er degré ]

4. Soit l'inéquation 80x < 1 000 + 40x.
    a. La résoudre.

   80x < 1 000 + 40x
   
80x 40x < 1 000 + 40x 40x
   
40x < 1 000
   40x / 40 < 1 000 / 40

x < 25

    b. Donner une interprétation du résultat trouvé

80x < 1 000 + 40x correspond à PA < PB

Ce résultat correspond aux nombres de séances (x < 25) pour lesquels le tarif A est plus avantageux que le tarif B.
 

 

 

 [ Inéquation du 1er degré ]

 

 

Partie B  

1. Tracer les droites :
     D1 d'équation y = 80x [en rouge]
     D2 d'équation y = 40x + 1 000 [en bleu]
     
D3 d'équation y = 3 000 [en vert]

 
 

 

Les deux premières équations correspondent (comme par hazard!) aux deux fonctions que l'on a demandé d'établir à la question 2.

 

 [ Fonctions affines et linéaires ]

2. Une personne dispose de 1 600 F pour l'utilisation des installations de ce club. Déterminer graphiquement le nombre de séances auquel elle pourra participer :

     a. si elle choisit le tarif A.

Si elle choisit le tarif A elle pourra bénéficier de 15 séances

     b. si elle choisit le tarif B.

Si elle choisit le tarif B elle pourra participer à 20 séances

 

Il faut rechercher les abscisses des points situés sur les droites D1 et D2 ayant comme ordonnées 1 600

3. Soient M le point d'intersection des droites D1 et D2, et N celui des droites D2 et D3.
     a. Lire sur le graphique les coordonnées de M

En lisant le graphique on obtient : M (25 ; 2000)

     b. Calculer les coordonnées de N.

   40x + 1 000 = 3 000
   40x + 1 000 1 000 = 3000  1 000
   40x = 2 000
   40x / 40 = 2 000 / 40

x = 50


y = 3 000

Les coordonnées du point N sont N(50 ; 3 000)
 

 [ Équation du 1er degré ]

 

Ici il est inutile de calculer l'ordonnée du point N, puique l'on sait qu'il appartient la la droite D3 qui à pour équation y = 3000.
On peut vérifier sur le graphique les coordonnées du point N.

 

 

4. Déterminer graphiquement, selon le nombre de séances annuelles, le tarifs de plus avantageux.

En dessous de 25 séances annuelles il vaut mieux prendre le tarif A
Entre 25 et 50 séances, le tarif B est plus économique.
Au delà de 50 séances, C est le tarif le plus rentable.