Parallélisme

PARALLÉLISME

Propriétés des parallèles et des perpendiculaires


Si (d₁) // (d) et (d₂) // (d), alors (d₁) // (d₂)	Si (d₁) ^ (d) et (d₂) ^ (d), alors (d₁) // (d₂)	Si (d₁) // (d₂) et (d₁) ^ (d), alors (d) ^ (d₂)

Angles avec une sécante

Définition
Deux angles sont dits complémentaires, si la somme de leur mesure est égale à 90°

Définition
Deux angles sont dits suppléméntaires, si la somme de leur mesure est égale à 180°

Angles opposés par le sommet :
a₁ et a₃, a₂ et a₄, b₁ et b₃, b₂ et b₄

Angles correspondants :
a₁ et b₁, a₂ et b₂, a₃ et b₃, a₃ et b₄

Angles alternes-internes :
a₃ et b₁, a₄ et b₂

Angles alternes-externes :
a₁ et b₃, a₂ et b₄

Théorème
Si les droites (d₁) et (d₂) sont parallèles, alors les couples d'angles définis en , et ont, deux à deux, la même mesure.

Théorème
Si deux des angles définis en , et ont, deux à deux, la même mesure, alors les droites (d₁) et (d₂) sont parallèles.

Droite des milieux d'un triangle

Théorème
Dans le triangle ABC, si le point I est le milieu du côté [AB] et si les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, alors le point J est le milieu du côté [AC].

Théorème
Dans le triangle ABC, si les points I et J sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [AC], alors les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, et on a l'égalité :

Théorème de Thalès

Définition
Deux triangles ABC et ADE forment une configuration de Thalès si les points (A, B, D) et (A, C, E) sont alignés dans le même ordre


Configurations "Triangles emboîtés"		Configuration "Papillon"

Théorème
Si les triangles ABC et ADE forment une configuration de Thalès et si les droites (BC) et (DE) sont parallèles, alors (Les triangles ABC et ADE sont à côtés proportionnels.)

Théorème (réciproque)
Si les triangles ABC et ADE forment une configuration de Thalès et si , alors les droites (BC) et (DE) sont parallèles

Théorème (contraposée)
Si les triangles ABC et ADE forment une configuration de Thalès et si , alors les droites (BC) et (DE) ne sont pas parallèles

Ensemble de points

Ensemble des points M, d'une droite (AB) donnée, tel que :
On trace deux parallèles (d₁) et (d₂) passant, respectivement, par A et B.
On place E, sur (d₁), tel que BE = b
On place F₁ et F₂, sur (d₂), tels que AF₁ = AF₂ = a
D'après le théorème de Thalès, on a :