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PROBLÈME (1/)

*Antilles - Guyane*	*Juin 2000*
– Coordonnées d'un point. – Calculs de distance dans un repère. – Réciproque du théorème de Pythagore. – Appartenance d'un point à une droite – Quadrilatère particulier – Aire d'un rectangle

Problème
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J)
L'unité de longueur est le centimètre.
On utilisera une feuille de papier millimétré pour la figure.

1. Représenter les points A(1 ; 5), B(2 ; 2) et C(3 ; 3) [ 1,5 pt ]
2. Calculer les distances AB, AC et BC. [ 1,5 pt ]
3. En déduire que le triangle est rectangle en C. [ 1 pt ]
4. Montrer que les points A et C appartiennent à la droite D d'équation «y = –x + 6». [ 2 pt ]
5. Représenter le point E tel que . [ 2 pt ]
6. Quelle est la nature du quadrilatère ACBE ? Justifier la réponse. [ 2 pt ]
7. Calculer l'aire du quadrilatère ACBE. [ 2 pt ]

Corrigé	Commentaires
1. Représenter les points A(1 ; 5), B(2 ; 2) et C(3 ; 3)	[ Coordonnées d'un point ]
2. Calculer les distances AB, AC et BC. Calcul de la distance AB AB² = (x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²AB² = (2 – 1)² + (2 – 5)² AB² = 1² + (–3)² AB² = 1 + 9 AB² = 10 Calcul de la distance AC AC² = (x_C – x_A)² + (y_C – y_A)²AC² = (3 – 1)² + (3 – 5)² AC² = 2² + (–2)² AC² = 4 + 4 AC² = 8 Calcul de la distance BC BC² = (x_C – x_B)² + (y_C – y_B)²BC² = (3 – 2)² + (3 – 2)² BC² = 1² + 1² BC² = 1 + 1 BC² = 1	[ Distance dans un R.O.N ]
3. En déduire que le triangle est rectangle en C. Si le triangle ABC est rectangle, son hypoténuse est nécessairement [AB] (le plus grand côté) D'un part AB² = 10 d'autre part AC² + AB² = 8 + 2 = 10 Comme AB² = AC² + AB², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.	[ Réciproque du théorème de Pythagore ]
4. Montrer que les points A et C appartiennent à la droite D d'équation «y = –x + 6». Si les points A et C appartiennent à la droite D, alors leurs coordonnées vérifient l'égalité y = –x + 6. –x_A + 6 = –1 + 6 = 5 et y_A= 5 –x_C + 6 = –3 + 6 = 3 et y_C = 3 Donc les points A et C appartiennent à la droite D d'équation y = –x + 6.
5. Représenter le point E tel que . Placer le point E tel que , revient à construire le 4ème sommet du parallélogramme ACBE. (voir figure)	[ Vecteur et parallélogramme ]
6. Quelle est la nature du quadrilatère ACBE ? Justifier la réponse. Comme , alors le quadrilatère ACBE est un parallélogramme. De plus, d'après la question 2, le triangle ABC est rectangle en C, donc l'angle est droit, donc le quadrilatère ACBE est un rectangle.	[ Vecteur et parallélogramme ]
7. Calculer l'aire du quadrilatère ACBE. Le quadrilatère ACBE est un rectangle, donc :	[ Aire d'un rectangle ]