Problème
Dans ce problème, l'unité de longueur est le centimètre et l'unité d'aire le cm².
La figure ci-dessous est donnée à titre d'exemple pour préciser la disposition des points. Ce n'est pas une figure en vraie grandeur. 

ABC est un triangle tel que :
AC = 20 cm ; BC = 16 cm ; AB = 12 cm
F est un point du segment [BC].
La perpendiculaire à la droite (BC) passant par F coupe [CA] en E.
On a représenté sur la figure le segment [BE].

Partie I

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B. [ 1 pt ]
2. Calculer l'aire du triangle ABC. [ 1 pt ]
3. Démontrer, en s'aidant de la question 1. que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB). [ 1 pt ]

Partie II

On se place dans le cas où CF = 4 cm.
1. Démontrer que EF = 3 cm [ 2 pts ]
2. Calculer l'aire du triangle EBC. [ 1 pt ]

Partie III

On se place dans le cas où F est un point quelconque du segment [BC], distinct de B et de C.
Dans cette partie, on pose CF = x (x étant un nombre tel que 0 < x < 16)
1. Montrer que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à [ 1,5 pt ]
2. Montrer que l'aire du triangle EBC, exprimée en cm², est égale à 6x. [ 1,5 pt ]
3. Pour quelle valeur de x l'aire du triangle EBC , exprimée en cm², est-elle égale à 33. [ 1,5 pt ]
4. Exprimer en fonction de x l'aire du triangle EAB. Pour quelle valeur exacte de x l'aire du triangle EAB est-elle égale au double de l'aire du triangle EBC ? [ 1,5 pt ]
 

Corrigé

Commentaires

Partie I

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B. 
D'une part
AC² = 20² = 400
d'autre part
AB² + BC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400
Comme AC²  = AB² + BC², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
 

2. Calculer l'aire du triangle ABC.
 
 

3. Démontrer, en s'aidant de la question 1. que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).

D'après la question 1. le triangle ABC est rectangle en B, donc les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
Comme les droites (AB) et (EF) sont toutes deux perpendicualires à la droite (BC) alors elles sont parallèles entre elles.
 

Partie II  (CF = 4 cm)

1. Démontrer que EF = 3 cm  

Les points C, E, A et C, F, B sont alignés dans le même ordre, donc les triangles CEF et CAB forment une configuration de Thalès.
Comme les droites (AB) et (EF) sont parallèles, alors d'après le théorème de Thalès, on a :
 
 

2. Calculer l'aire du triangle EBC.

 
 

Partie III (CF = x )

1. Montrer que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à  
En réutilisant l'égalité obtenue à la question 1 de la partie II, on obtient

 

2. Montrer que l'aire du triangle EBC, exprimée en cm², est égale à 6x.
 
 

3. Pour quelle valeur de x l'aire du triangle EBC , exprimée en cm², est-elle égale à 33

 
 

4. Exprimer en fonction de x l'aire du triangle EAB. Pour quelle valeur exacte de x l'aire du triangle EAB est-elle égale au double de l'aire du triangle EBC ?

Pour l'aire du triangle EAB est égale au double de l'aire du triangle EBC.