TRIANGLE RECTANGLE

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Cercle circonscrit à un triangle rectangle

 

Définition
On appelle
hypoténuse, dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit (le plus grand côté).

Théorème
Si A est un point, distinct de B et C, du cercle de diamètre [BC], alors le triangle ABC est rectangle en A. (d'hypoténuse [BC])

 

Théorème
Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est situé au milieu de son hypoténuse.
Autre formulation
Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit.

Théorème
Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse. (et réciproquement).



 Théorème de Pythagore

Théorème
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit. Autrement dit :
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC2 = AB2 + AC2.

Exemple
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et BC = 10 cm. Calculer la longueur du côté [AC].
D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC rectangle en A, on a :
BC2 = AB2
+ AC2
102 = 62
+ AC2
100 = 36 + AC2
AC2 = 100 36
AC2 = 64

AC = 8
Le côté [AC] mesure 8 cm.



Théorème (réciproque)
Dans un triangle ABC,
si BC2 = AB2 + AC2, alors ABC est un triangle rectangle en A.

Exemple
DEF est un triangle tel que DE = 5 cm, EF = 12 cm et DF = 13 cm. Est-il rectangle ?
Si le triangle DEF est rectangle, son hypoténuse est nécessairement [DF] (le plus grand côté)
D'une part
DF2 = 132
= 169
d'autre part
DE2 + EF2
= 52 + 122 = 25 + 144 = 169
Comme DF2 = DE
2 + EF2, alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEC est rectangle en E.



Théorème (contraposée)
Dans un triangle ABC,
si BC2 ¹ AB2 + AC2 (où [BC] est le plus grand côté), alors le triangle ABC n'est pas rectangle.

Exemple
RST est un triangle tel que RS = 3,7 cm, ST = 7,1 cm et RT = 8,1 cm. Est-il rectangle ?

Si le triangle RST est rectangle, son hypoténuse est nécessairement [RT] (le plus grand côté)
D'une part
RT2 = 8,1
2 = 65,61
d'autre part
RS
2 + ST2 = 3,72 + 7,12 = 13,69 + 50,41 = 64,1
Comme RT2
¹ RS2 + ST2, alors d'après la controposée du théorème de Pythagore, le triangle RST n'est pas rectangle.