Théorème
Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est situé au milieu de son hypoténuse.
Autre formulation
Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit.

Théorème
Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse. (et réciproquement).

Théorème
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit. Autrement dit :
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².

Exemple
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et BC = 10 cm. Calculer la longueur du côté [AC].
D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC rectangle en A, on a :
BC² = AB² + AC²
10² = 6² + AC²
100 = 36 + AC²
AC² = 100 – 36
AC² = 64

AC = 8
Le côté [AC] mesure 8 cm.

Théorème (réciproque)
Dans un triangle ABC, si BC² = AB² + AC², alors ABC est un triangle rectangle en A.

Exemple
DEF est un triangle tel que DE = 5 cm, EF = 12 cm et DF = 13 cm. Est-il rectangle ?
Si le triangle DEF est rectangle, son hypoténuse est nécessairement [DF] (le plus grand côté)
D'une part
DF² = 13² = 169
d'autre part
DE² + EF² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
Comme DF² = DE² + EF², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEC est rectangle en E.

Théorème (contraposée)
Dans un triangle ABC, si BC² ¹ AB² + AC² (où [BC] est le plus grand côté), alors le triangle ABC n'est pas rectangle.

Exemple
RST est un triangle tel que RS = 3,7 cm, ST = 7,1 cm et RT = 8,1 cm. Est-il rectangle ?
Si le triangle RST est rectangle, son hypoténuse est nécessairement [RT] (le plus grand côté)
D'une part
RT² = 8,1² = 65,61
d'autre part
RS² + ST² = 3,7² + 7,1² = 13,69 + 50,41 = 64,1
Comme RT² ¹ RS² + ST², alors d'après la controposée du théorème de Pythagore, le triangle RST n'est pas rectangle.