Transformations du plan

TRANSFORMATIONS DU PLAN

Symétrie axiale orthogonale (réflexion)

Définition
A et A' sont symétriques par rapport à une droite (D), si (D) est la médiatrice du segment [AA']

Définition
Une droite (d) est un axe de symétrie pour une figure, si tout point de cette figure a son image sur elle-même.

Symétrie centrale

Définition
A et A' sont symétriques par rapport à un point O, si O est le milieu du segment [AA'].

Définition
O est un centre de symétrie pour une figure, si tout point de cette figure a son image sur elle-même.

Translation

Définition
On dit que B' est l'image de B par la translation de vecteur , si le quadrilatère ABB'A' est un parallélogramme.
On dit aussi que B' est l'image de B par la translation qui transforme A en A'.

Définition
et sont égaux si :
– Ils ont même direction, même sens et même longueur ou
– Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme ou
– Les segments [AC] et [BD] ont le même milieu (i.e. les bipoints (A,B) et (C,D) sont équipollents.)

Théorème
Si , alors I est le milieu de [AB] (et réciproquement).

Règle
Le point D, tel que , est le 4ème sommet du parallélogramme ABDC.

Règle (Relation de Chasles)
Quels que soient les points A, B et C, on a :

Définition
Les deux vecteurs et sont opposés. Ils ont la même direction, la même longueur, mais des sens contraires : + = = (vecteur nul).

Théorème
La composée d'une translation de vecteur et d'une translation de vecteur est une translation de vecteur + .

Théorème
La composée d'une symétrie centrale de centre I et d'une symétrie centrale de centre J, est une translation de vecteur 2 .

Rotation

Définition
On dit que A' est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle a si OA' = OA et = a.

Définition
On appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique, le sens contraire des aiguille d'une montre.

Théorème
Une symétrie centrale est une rotation d'angle 180° (le sens peut être direct ou indirect.)

Polygones réguliers

Caractéristique d'un polygone régulier
– Il est inscriptible dans un cercle.
– Tous les côtés ont la même longueur.
– Les angles au centre ont la même mesure.
– Les angles aux sommets ont la même mesure.

Définition
Un polygone qui vérifie 2 des 4 caractéristiques précédentes, vérifie nécessairement les 2 autres et, est appelé polygone régulier.

Propriétés
– Un polygone régulier est invariant par rotation de centre, le centre du cercle circonscrit et d'angle un multiple de la mesure d'un angle au centre.
– Si on considère un polygone régulier à n côtés alors la mesure d'un angle au centre est égale à 360 / n et celle d'un angle au sommet est égale à 180 – 360 / n.

Principaux polygones réguliers

n	nom	angle au centre	angle au sommet
3	triangle équilatéral	120°	60°
4	carré	90°	90°
5	pentagone régulier	72°	108°
6	hexagone régulier	60°	120°
7	heptagone régulier	» 51.43°	» 128.57°
8	octogone régulier	45°	135°
9	ennéagone régulier	40°	140°
10	décagone régulier	36°	144°
11	hendécagone régulier	» 32.73°	» 147.27°
12	dodécagone régulier	30°	150°
15	pentadécagone régulier	24°	156°
n	n-gone	360 / n	180 – 360 / n

Cas particulier
Dans un hexagone régulier (6 côtés), la longueur d'un côté est égale au rayon du cercle circonscrit.

Propriétés des isométries (symétries, translations et rotations)