TRANSFORMATIONS DU PLAN

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Symétrie axiale orthogonale (réflexion)

 

Définition
A et A' sont symétriques par rapport à une droite (D), si (D) est la médiatrice du segment [AA']

Définition
Une droite (d) est un axe de symétrie pour une figure, si tout point de cette figure a son image sur elle-même.

 


 

 

Symétrie centrale

 

Définition
A et A' sont symétriques par rapport à un point O, si O est le milieu du segment [AA'].

Définition
O est un centre de symétrie pour une figure, si tout point de cette figure a son image sur elle-même.

 


 

 

Translation

 

Définition
On dit que B' est l'image de B par la translation de vecteur , si le quadrilatère ABB'A' est un parallélogramme.
On dit aussi que B' est l'image de B par la translation qui transforme A en A'.

Définition
et sont égaux si :
 Ils ont même direction, même sens et même longueur ou
 Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme ou
 Les segments [AC] et [BD] ont le même milieu (i.e. les bipoints (A,B) et (C,D) sont équipollents.)

 

Théorème
Si , alors I est le milieu de [AB] (et réciproquement).

Règle
Le point D, tel que , est le 4ème sommet du parallélogramme A
BDC.

Règle (Relation de Chasles)
Quels que soient les points A, B et C, on a :

Définition
Les deux vecteurs et sont opposés. Ils ont la même direction, la même longueur, mais des sens contraires : + = = (vecteur nul).

Théorème
La composée d'une translation de vecteur et d'une translation de vecteur est une translation de vecteur + .

Théorème
La composée d'une symétrie centrale de centre I et d'une symétrie centrale de centre J, est une translation de vecteur 2 .

 

 Rotation

 

Définition
On dit que A' est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle a si OA' = OA et = a.

Définition
On appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique, le sens contraire des aiguille d'une montre.

Théorème
Une symétrie centrale est une rotation d'angle 180° (le sens peut être direct ou indirect.)

 

 

Polygones réguliers


Caractéristique d'un polygone régulier
Il est inscriptible dans un cercle.
Tous les côtés ont la même longueur.
Les angles au centre ont la même mesure.
Les angles aux sommets ont la même mesure.

Définition
Un polygone qui vérifie 2 des 4 caractéristiques précédentes, vérifie nécessairement les 2 autres et, est appelé polygone régulier.

 

 

  Propriétés
Un polygone régulier est invariant par rotation de centre, le centre du cercle circonscrit et d'angle un multiple de la mesure d'un angle au centre.
Si on considère un polygone régulier à
n côtés alors la mesure d'un angle au centre est égale à 360 / n et celle d'un angle au sommet est égale à 180 360 / n.

  Principaux polygones réguliers

 

n

nom

angle au centre

angle au sommet

3

triangle équilatéral

120°

60°

4

carré

90°

90°

5

pentagone régulier

72°

108°

6

hexagone régulier

60°

120°

7

heptagone régulier

» 51.43°

» 128.57°

8

octogone régulier

45°

135°

9

ennéagone régulier

40°

140°

10

décagone régulier

36°

144°

11

hendécagone régulier

» 32.73°

» 147.27°

12

dodécagone régulier

30°

150°

15

pentadécagone régulier

24°

156°

n

n-gone

360 / n

180 360 / n

 

  Cas particulier
Dans un hexagone régulier (6 côtés), la longueur d'un côté est égale au rayon du cercle circonscrit.

 

Propriétés des isométries (symétries, translations et rotations)

 

 

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