Exercice 1
L'unité est le centimètre. La figure ci-dessous n'est pas à l'échelle. On ne demande pas de refaire cette figure.
Les points E, M, A, B sont alignés dans cet ordre. Les points F, P, A, C sont alignés ans cet ordre.
Les droites (EF) et (MP) sont parallèles.
AM = 6 ; MP = 4,8 ; AP = 3,6 ; EF = 6 ; AC = 4,5 ; AB = 7,5 

1. Démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle. [ 1,5 pt ]
2. Calculer AE et en déduire la longueur ME (on justifiera les calculs). [ 1,5 pt ]
3. Démontrer que les droites (MP) et (BC) sont parallèles. [ 2 pts ]
4. Démontrer que les angles et sont égaux. [ 1 pt ]

Corrigé

Commentaires

1. Démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle.

Si le triangle AMP est rectangle, son hypoténuse est nécessairement AM (le plus grand côté)
D'une part
AM² = 6² = 36
D'autre part
MP² + PA² = 4,8² + 3,6² = 23,04 + 12,96 = 36
Comme AM² = MP² + PA² , alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMP est rectangle en P.
 

2. Calculer AE et en déduire la longueur ME (on justifiera les calculs).

Les points A,M,E et A,P,F sont alignés dans le même ordre, donc les triangles AMP et AEF forment une configuration de Thalès.
Comme les droites (MP) et (EF) sont parallèles, alors d'après le théorème de Thalès, on a :

D'où


Le point M appartient au segment [AE], donc EM = EA – MA
EM = 7,5 – 6
 

 3. Démontrer que les droites (MP) et (BC) sont parallèles

Les points M, A, B et P, A, C sont alignés dans le même ordre, donc les triangles AMP et ACB forment une configuration de Thalès "papillon"
D'une part

D'autre part
 

Comme , alors d'après la réciproque du théorème de Thalès les droites (MP) et (BC) sont parallèles.
 

4. Démontrer que les angles et sont égaux.

Les angles et sont des angles alternes-internes, et comme les droites (MP) et (BC) sont parallèles alors ils ont la même mesure