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ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (15/)

*Académie de Bordeaux*	*Juin 2000*
– Développement – Factorisation – Équation produit

Exercice 2
1. On considère l'expression E = (x – 3)² – (x – 1)(x – 2)
    a. Développer et réduire E.  [ 1 pt ]
    b. Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de 99 997² – 99 999 × 99 998 [ 1 pt ]
2. a. Factoriser l'expression : F = (4x + 1)² – (4x + 1)(7x – 6)   [ 1 pt ]
     b. Résoudre l'équation (4x + 1)(7 – 3x) = 0

Corrigé

Commentaires

1. a. Développer et réduire E donc
E = (x – 3)² – (x – 1)(x – 2)
E = x² – 6x + 9 – (x² – 2x – x + 2)
E = x² – 6x + 9 – x² + 2x + x – 2

E = –3x + 7

La présence du carré doit, immédiatement, faire penser à l'identité remarquable
(a – b)² = a² – 2ab + b²Attention au signe moins devant la parenthèse

[ Développement ]

1. b. Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de 99 997² – 99 999 × 99 998

On utilise le résultat obtenu à la question 1 en posant x = 100 000.
On remarque alors que
x – 3 = 99 997
x – 1 = 99 999
x – 2 = 99 998
Donc, comme (x – 3)² – (x – 1)(x – 2) = –3x +7, on obtient
99 997² – 99 999 × 99 998 = –3 × 100 000 + 7

99 997² – 99 999 × 99 998 = –299 993

Dans cette question, il faut comparer l'expression
A = (x – 3)² – (x – 1)(x – 2)
avec 99 997² – 99 999 × 99 998
et identifier la valeur de x.
(x – 3)²–>99 997²(x – 1) –> 99 999
(x – 2) –> 99 998

2. a. Factoriser l'expression : F = (4x + 1)² – (4x + 1)(7x – 6)

F = (4x + 1)² – (4x + 1)(7x – 6)
F = (4x + 1)(4x + 1) – (4x + 1)(7x – 6)
F = (4x + 1)[(4x + 1) – (7x – 6)]
F = (4x + 1)(4x + 1 – 7x + 6)

F = (4x + 1)(–3x + 7)

Il faut remarquer que
(4x + 1)² =(4x + 1)(4x + 1)

[ Factorisation ]

2. b. Résoudre l'équation (4x + 1)(7 – 3x) = 0

Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs, au moins, est nul.

C'est une équation produit
Cette equation est exactement l'expression trouvée à la question 2.a. Cela arrive fréquemment dans les sujets. Bref, c'est un bon moyen pour savoir si on ne s'est pas trompé.

[ Équation produit ]