Exercice 1
1. Construire un cercle () de centre O, de rayon 3 cm. [ 0,5 pt ]
2. Placer sur () deux points E et F tels que le triangle OEF soit équilatéral. [ 1 pt ]
3. Tracer la tangente au cercle () passant par E ; elle coupe (OF) en A [ 1 pt ]
4. Montrer que OEA est rectangle [ 1 pt ]
5. Calculer les mesures des angles du triangle AEF [ 1 pt ]
6. Démontrer que F est le milieu de [OA] [ 1 pt ]
7. Donner les valeur exacte de sin  et cos  [ 1,5 pt ]

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Commentaires

1. Construire un cercle () de centre O, de rayon 3 cm.
2. Placer sur () deux points E et F tels que le triangle OEF soit équilatéral.
3. Tracer la tangente au cercle () passant par E ; elle coupe (OF) en A

4. Montrer que OEA est rectangle
Par énoncé la droite (EA) est la tangente en E au cercle (), donc l'angle est droit et le triangle OEA est rectangle en E.
 

5. Calculer les mesures des angles du triangle AEF
Le triangle EOF est équilatéral, donc ses trois angles ont pour mesure 60° : = = = 60°

Calcul de l'angle .
Le triangle OEA est rectangle en E, donc les angles et  sont complémentaires.
+ = 90°
 60° + = 90°
 

Calcul de l'angle .
Les angles et sont adjacents et l'angle est droit, donc
+ =
 60° + = 90°

Calcul de l'angle .
Les angles et sont supplémentaires, donc

+ = 180°
 60° + = 180°
 

 6. Démontrer que F est le milieu de [OA]
Les angles et ont la mêmes mesure donc le triangle EAF est isocèle en F et EF = FA.
Par ailleurs le triangle EFO est équilatéral donc OF = EF.
Par conséquent OF = FA.
Comme, de plus, les points O, F et A sont alignés, alors le point F est le milieu de [OA]

7. Donner les valeur exacte de sin  et cos Â
E est le milieu de OA, donc OA = 2OF = 2OE
Dans le triangle OAE rectangle en E, on a :
 
On sait que cos² Â + sin² Â = 1
donc