DÉMONSTRATION – MODE D'EMPLOI

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Démonstration – Mode d'Emploi | Comment démontrer...

 

Introduction : Le mot hypothèse possède divers sens, qu'il ne faut pas confondre.

Hypothèse n. f.
1. (MATH) Point de départ d'une démonstration logique, posé dans l'énoncé et à partir duquel on se propose d'aboutir à la conclusion.
2. (Dans les sciences expérimentales.) Explication plausible d'un phénomène naturel, provisoirement admise et destinée à être soumise au contrôle méthodique de l'expérience. Hypothèse confirmée, infirmée par l'expérience.
3. (Sens courant.) Supposition, conjecture que l'on fait sur l'explication ou la possibilité d'un événement. Émettre une hypothèse.
(Source : Dictionnaire HACHETTE multimédia encyclopédique 97)



Les questions qu'on doit se poser :

1 Que cherche-t-on à démontrer ? (La conclusion)

2 Quels sont les éléments dont on dispose ?
Les données (ou hypothèses) sont les informations extraites directement de l'énoncé.
Ces informations sont les seules qui peuvent être utilisées sans justification.

3 Quels sont les propriétés ou théorèmes que l'on connaît et qui ont un rapport avec l'énoncé ?



La réalisation, en géométrie, d'une figure d'étude est indispensable. Ne pas oublier de bien la coder. Cette figure permet d'avoir l'essentiel sous les yeux (mais pas toujours tout).

La recherche d'une démonstration se fait "à l'envers". On part de la conclusion, et on "remonte", de proche en proche, jusqu'à arriver aux informations (données ou hypothèses) dont on dispose dans l'énoncé.

ATTENTION :
Il ne faut jamais utiliser, dans une démonstration, la conclusion comme étant supposée vraie. La conclusion n'apparaît qu'à la fin.

La rédaction de la démonstration, quant à elle, se fait dans le "bon" sens.
Pour cela, on utilise une rédaction du style :

Comme Hypothèse(s) , alors Conclusion(s)

D'après Hypothèse(s) , on a Conclusion(s)

On a Hypothèse(s) , donc Conclusion(s)

Comme Hypothèse(s) du Théorème, alors d?après Théorème, Conclusion(s) du Théorème

(Quand on utilise un théorème, il ne faut pas oublier d'en vérifier les conditions d'utilisation. C'est à dire qu'on a TOUT ce qu'il faut pour pouvoir l'utiliser.)

On utilise aussi des liens tels que :
Par suite, Par conséquent, Il s'ensuit que, Il en résulte que, Il en découle, On en déduit que, On obtient, De plus, En outre, etc.

Plus une rédaction est aérée, plus elle est facile à lire et à comprendre. Dans la mesure du possible, il vaut mieux éviter les phrases longues. Ne pas hésiter à retourner à la ligne.

Le vocabulaire utilisé doit être précis
Ex. : les mots centre et milieu ne sont pas des synonymes dans le langage mathématique, de même pour aire-surface, chiffre-nombre, sens-direction,  contraire-opposé-inverse, cercle-disque.

Ne pas mettre d'abréviations dans les phrases.
On écrit soit "les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires", soit "on a (AB) ^ (CD)", mais pas "les droites (AB) et (CD) sont ^ ".

Ne pas confondre les notations
AB : longueur du segment [AB].
[AB] : segment d'extrémités A et B.
(AB) : droite contenant les points A et B.
[AB) : demi-droite d'origine A et contenant le point B.
[BA) : demi-droite d'origine B et contenant le point A.
: vecteur d'origine A et d'extrémité B.
= : égalité entre deux expressions
» : approximation (valeur approchée).

Écrire AB ^ CD  n'a pas de sens.
[AB] = [CD] n'est vrai que si les points A et C d'une part, B et D d'autre part, sont confondus (ou A et D d'une part, B et C d'autre part)

Les phrases qui utilisent les mots "car", "parce que" ou "puisque" sont à évitées. Elles nécessitent de mettre la conclusion avant les hypothèses. (La charrue avant les bœufs !)

Se méfier des "on voit que". Un dessin constitue très rarement une preuve.



Exemple de démonstration



Énoncé :

ABC est un triangle rectangle en B et I est le milieu de son hypoténuse.
Le point D est le symétrique de B par rapport à I.
Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.



Au brouillon – Recherche de la démonstration (L'essentiel du travail !)

Figure d'étude :

Hypothèses : (Données du problème)

1 –ABC triangle rectangle en B
2 – I milieu de [AC]
3 – D est le symétrique de B par rapport à I

Conclusion :

– ABCD est un rectangle

 

Propriétés ayant un rapport avec l'énoncé :

– Un rectangle est un parallélogramme qui possède un angle droit.
– Un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
– Si A et B sont symétriques par rapport à I alors I est le milieu du segment [AB].

Schéma de démonstration :

Sur la copie  – Rédaction de la démonstration

· Les points B et D sont symétriques par rapport à I, donc I est le milieu du segment [BD].

· Par énoncé, I est aussi le milieu du segment [AC].

· Comme le quadrilatère ABCD a ses diagonales [AC] et [BD] qui se coupent en leur milieu I, alors c'est un parallélogramme.

· De plus, le triangle ABC est rectangle en B, donc l'angle est droit.

· Par conséquent le parallélogramme ABCD est un rectangle.

q.e.d.

Remarque : La rédaction proposée ci-dessus ne prétend pas être LA rédaction, mais UNE rédaction possible (qui a le mérite d'être complète) parmi d'autres.




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